కటపయాది పద్ధతి
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Katapayadi-eng.svg/220px-Katapayadi-eng.svg.png)
సంఖ్యలను, పదాలద్వారానూ, శ్లోకాలద్వారానూ సులువుగా గుర్తుపెట్టుకోవడానికి వాడిన ఒక ప్రాచీన భారతీయ విధానం, కటపయాది పద్ధతి. కొన్ని అక్షరాలకు ఒకే లేదా వేర్వేరు అంకెలను కేటాయించి, మరికొన్నిటి విలువని సున్నాగా నిర్ణయించి, అర్థవంతమైన పదాలను సృష్టించి, తద్వారా సంక్లిష్టమైన సంఖ్యలను గుర్తుపెట్టుకోగలగడం, ఈ కటపయాది యొక్క ప్రత్యేకత.
చరిత్ర
[మార్చు]ఈ పద్ధతిని గురించిన అత్యంత ప్రాచీనమైన ఉల్లేఖనం, సా.శ. 683నాటి హరిదత్తుని గ్రహచారణిబంధనం లోనిది.[1] సా.శ. 869నాటి, శంకరనారాయణ రాసిన, లఘుభాష్యకారియవివరణంలో కూడా దీనినివాడినట్టు తెలుస్తోంది.[2] కేరళలో ప్రసిద్ధమైన, కొన్ని ఖగోళ ఉల్లేఖనాలలోని, గ్రహస్థితులు కటపయాది పద్ధతిలో కూర్చబడి ఉన్నాయి. అటువంటి ఉల్లేఖనాలలో మెట్టమొదటిది, వరరుచి వ్రాసిన "చంద్ర వాక్యాని"అని భావిస్తారు. అందువలన కొంతమంది, ఈ పద్ధతికి వరరుచి ఆద్యుడు అని భావిస్తారు.[3] వరరుచి సా.శ. 4 వ శతాబ్దికి చెందినవాడు. అందువలన ఈ పద్ధతి మొదటి సహస్రాబ్దపు తొలి శతాబ్దాలలో పుట్టిందని భావించవచ్చు.[4] ఆర్యభటుని ఆర్యభటీయం లో కూడా ఖగోళ సంఖ్యలను తెలుపడానికి కటపయాది పద్ధతిని వాడినారు. అయితే, ఈ వాడుక మరికొంత ఆధునికతని సంతరించుకొంది.[5]
వాడుక యొక్క భౌగోళికత
[మార్చు]కటపయాది పద్ధతిని ఎక్కువగా దక్షిణ భారతదేశంలో, ప్రముఖంగా కేరళలో వాడినట్లు భావిస్తున్నారు. అయితే, బర్మా దేశంలో కటపయాది పద్ధతిన కొన్ని పాళీ చంద్రసెంగకళలు(Chronogram)లు లభ్యమయ్యాయి. అందువలన ఈ పద్ధతి కేవలం భారతదేశానికే పరిమితం కాలేదని తెలుస్తోంది.[6] అంతేగాక, ఉత్తరభారతదేశంలో లభ్యమైన ఒక సంస్కృత తారేక్షం (Astrolabe)పైన, కటపయాది పద్ధతిలో వివిధ ఎత్తులు, మార్కు చేయబడినట్టు గుర్తించారు. ఇది ప్రస్తుతం, వారణాసిలోని సంపూర్ణానంద విశ్వవిద్యాలయంలో, సరస్వతీ భవన్ గ్రంథాలయంలో ఉన్నది.[1]
నియమాలు
[మార్చు]శంకరవర్మ రాసిన సద్రత్నమాల లోని ఈ క్రింది శ్లోకం, ఈ పద్ధతిని వివరిస్తుంది.[7][8]
నజ్ఞావచశ్చ శూన్యాని సంఖ్యా: కటపయాదయ:|
మిశ్రే తూపాన్త్యహల్ సంఖ్యా న చ చిన్త్యో హలస్వర:||
అనగా, 'న', 'ఞ', , అచ్చులకు "సున్నా" విలువ ఇవ్వబడుతుంది. కటపయతో మొదలు అన్ని హల్లులకు 1-9 వరకూ విలువలివ్వబడ్డాయి. సంయుక్త అక్షరాలు (వత్తులతో సహా) వచ్చినపుడు, వెనుక వచ్చిన హల్లుని మాత్రమే లెక్కలోకి తీసుకోవాల్సి ఉంటుంది. పొల్లు అక్షరాలను విడిచిపెట్టాలి.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
ka క | kha ఖ | ga గ | gha ఘ | nga ఙ | ca చ | cha ఛ | ja జ | jha ఝ | nya ఞ |
ṭa ట | ṭha ఠ | ḍa డ | ḍha ఢ | ṇa ణ | ta త | tha థ | da ద | dha ధ | na న |
pa ప | pha ఫ | ba బ | bha భ | ma మ | - | - | - | - | - |
ya య | ra ర | la ల | va వ | śha శ | sha ష | sa స | ha హ | - | - |
- హల్లులకు పై పట్టికలో చూపిన విధంగా విలువలివ్వబడ్డాయి. ఉదాహరణకి, "బ" విలువ ఎప్పుడైనా "3" మాత్రమే, కానీ ఙ, ణ, మ, శ లలో దేనిద్వారానైనా సూచించవచ్చు.
- ఒంటరిగా వచ్చే ఏ అచ్చుకైనా విలువ "0"అవుతుంది.
- సంయుక్తాక్షరాలు లేదా వత్తులతో కూడిన అక్షరాలు ఉన్నప్పుడు అచ్చులతో కూడని హల్లుకి విలువ ఉండదు. ఉదాహరణకి, "క్య" అనే సంయుక్తాక్షరం, ("క్య = క్ + య్ + అ") లో, "య" అచ్చుతో కూడినదై ఉన్నందువలన దాని విలువ మాత్రమే గణించాలి.
- దశాంశ బిందువు వాడకం లేదు.
- భారతీయులు హిందూ-అరబిక్ సంఖ్యలను వాడారు. సాంప్రదాయికంగా, ఈ సంఖ్యలలో ఎడమనుండి కుడికి పోయినపుడు, స్థానవిలువ పెరుగుతుంది. ఇది, "అంకానామ్ వామతో గతి" అనే నియమం మీద ఆధారపడినట్టిది. ఉదాహరణకి, పందొమ్మిది వందల నలభై యేడుని 7491 అని రాయాలి. (1947 అని ఆధునిక ప్రపంచ వాడుక) [9]
తేడాలు
[మార్చు]- ద్రావిడ భాషలలో కనిపించే "ళ" అక్షరం కూడా కొన్నిచోట్ల వాడబడింది.
- కొంతమంది ఒంటరిగా వచ్చే అచ్చులకి "సున్నా"గా పరిగణించరు. విలువలేనివిగా గణిస్తారు.
వాడుక
[మార్చు]గణితం , ఖగోళశాస్త్రాలు
[మార్చు]- సా.శ. 950 ప్రాంతానికి చెందిన రెండవ ఆర్యభట్టుని, "మహా ఆర్య సిద్ధాంతం"లో వృత్త వ్యాసానికీ, దాని చుట్టుకొలతకీ ఉన్న నిష్పత్తి అనగా "పై" () విలువ ఈ క్రింది శ్లోకం క్రోడీకరించబడింది.[10]
గోపీ భాగ్య మధువ్రాత శృఞ్గి శోదరి సంధిగ|
ఖల జీవిత ఖాతావగల హాలార సంధర ||
ఈ పద్యాన్ని కృష్ణుడి పరంగాను, శివుడి పరంగాను కూడా చెప్పుకోవచ్చని భావిస్తారు.
కటపయాది పద్ధతిలో హల్లుల విలువలని పై పద్యంలో అక్షరాలకి వర్తింపజేస్తే వచ్చే సంఖ్య.
3141592653589793 (మొదటి పాదం)
2384626433832792 (రెండవ పాదం)
ఇది పై విలువ (31 దశాంశాల వరకూ) =3.1415926535897932384626433832795...
- కేరళకు చెందిన 14వ శతాబ్దపు గణితవేత్త - జ్యోతిష్కుడు, మాధవుని సైన్ పట్టిక వివిధ కోణాల సైన్ విలువలు ఈ పద్ధతిలోనే సూచించబడ్డాయి.
- 15వ శతాబ్దానికి చెందిన కరణపద్ధతి'లో ', "పై" () విలువ ఈ శ్లోకం సూచిస్తుంది.
అనూననూన్నానననున్ననిత్యై-
స్సమాహతాశ్చక్రకలావిభక్తాః
చండాంశుచంద్రాధమకుంభిపాలైర్-
వ్యాసస్తదర్ద్ధం త్రిభమౌర్విక స్యాత్
- ఇది "అనూననూన్నానననున్ననిత్యై"' (10,000,000,000) వ్యాసంగాగల వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత చండాంశుచంద్రాధమకుంభిపాలైర్"' (31415926536) అనే అర్థం ఇస్తుంది.
- శంకరవర్మ రాసిన సద్రత్నమాల నుండి ఒక ప్రసిద్ధ శ్లోక భాగం కింద ఇవ్వబడింది.
భద్రామ్బుద్ధిసిద్ధజన్మగణితశ్రద్ధా స్మ యద్ భూపగీ:
- ఈ కటపయాది పద్ధతినుపయోగిస్తే,
భ bha | ద్ d | రా rā | మ్ ṃ | బు ba | ద్ d | ధి dh | సి sa | ద్ d | ధ dha | జ ja | న్ n | మ ma | గ ga | ణి ṇa | త ta | శ్ ṣ | ర ra | ద్ d | ధా dha | స్ s | మ ma | య ya | ద్ d | భూ bha | ప pa | గి gi |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 | - | 2 | - | 3 | - | 9 | 7 | - | 9 | 8 | - | 5 | 3 | 5 | 6 | - | 2 | - | 9 | - | 5 | 1 | - | 4 | 1 | 3 |
- ఇది సాంప్రదాయికంగా ఉన్న వరుస అయినందువలన, ఈ సంఖ్యని వెనుకనుండి రాస్తే "314159265358979324" వస్తుంది. ఇది పై (π) విలువని 17 దశాంశాల వరకూ ఇస్తుంది.
కర్ణాటక సంగీతం
[మార్చు]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Melakarta.katapayadi.sankhya.72.png/250px-Melakarta.katapayadi.sankhya.72.png)
కర్ణాటక సంగీతంలోని, జనక రాగాలను క్రమపద్ధతిలో పొందుపరచి, ప్రతీ రాగానికీ ఒక సంఖ్యని కేటాయించారు. ఈ సంఖ్యని మేళకర్త సంఖ్య అని కూడా అంటారు. కర్ణాటక సంగీతంలో మేళకర్త రాగాలు లేదా సంపూర్ణ రాగాలు లేదా జనక రాగాలు మొత్తం 72 ఉన్నాయి. ఈ రాగాలలోని మొదటి రెండు అక్షరాలు, (కటపయాది పద్ధతిలో) ఆ రాగం యొక్క క్రమసంఖ్యని సూచిస్తాయి. అనంతమైన జన్య రాగాలు ఈ మేళకర్త రాగాల నుండే జనించాయి. మేళ కర్త సంఖ్యని ఉపయోగించి, రాగాలలో స్వరాల క్రమాన్ని పొందవచ్చును.
- "స" "ప" స్వరాలు స్థిరములు
- 1 నుండి 36 వరకూ మేళకర్త రాగాలలో "మ1" ఉంటుంది, 37 నుండి 72 వరకూ "మ2" ఉంటుంది.
- ఇతర స్వరక్రమాన్ని, మేళకర్త సంఖ్యని ఒక్క విలువ తగ్గించి, పిమ్మట 6 తో భాగింపగా వచ్చిన భాగఫలం, శేషాల ఆధారంగా కనుగొనవచ్చును.
- "రి", "గ" స్థానాలలో
- "రి1", "గ1" (భాగఫలం 0 అయినపుడు)
- "రి1", "గ2" (భాగఫలం 1 అయినపుడు)
- "రి1", "గ3" (భాగఫలం 2 అయినపుడు)
- "రి2", "గ2" (భాగఫలం 3 అయినపుడు)
- "రి2", "గ3" (భాగఫలం 4 అయినపుడు)
- "రి3", "గ3" (భాగఫలం 5 అయినపుడు)
ఉంటాయి.
- "ద", "ని" స్థానాలలో
- "ద1", "ని1" (శేషం 0 అయినపుడు)
- "ద1", "ని2" (శేషం 1 అయినపుడు)
- "ద1", "ని3" (శేషం 2 అయినపుడు)
- "ద2", "ని2" (శేషం 3 అయినపుడు)
- "ద2", "ని3" (శేషం 4 అయినపుడు)
- "ద3", "ని3" (శేషం 5 అయినపుడు)
ఉదాహరణ,
- ధీరశంకరాభరణం రాగం
కటపయాది పద్ధతిలో, ధ 9, ర 2, ఆధునికవాడుక ప్రకారం, 92 29 ఇది, శంకరాభరణం రాగం యొక్క మేళకర్త సంఖ్య. ఇది 36 కన్నా తక్కువ కనుక 'మ1' ఉంటుంది. 29ని ఒక్క విలువ తగ్గిస్తే 28 అవుతుంది. 6 తో 28ని భాగింపగా భాగపలం 4, శేషం 4 . అందువలన ఈ రాగం యొక్క స్వరక్రమం, స రి2 గ3 మ1 ప ద2 ని3 స'.
- మేచ కళ్యాణి రాగం
కటపయాది పద్ధతిలో, మ 5, చ 6, ఆధునికవాడుక ప్రకారం, 56 65 ఇది, మేచ కళ్యాణిరాగం యొక్క మేళకర్త సంఖ్య. ఇది 36 కన్నా ఎక్కువ కనుక 'మ2' ఉంటుంది. 65 నుండి 36ని తీసివేస్తే 29. 29నుండి ఒక్క విలువ తగ్గిస్తే 28 అవుతుంది. 6 తో 28ని భాగింపగా భాగపలం 4, శేషం 4 . అందువలన ఈ రాగం యొక్క స్వరక్రమం, స రి2 గ3 మ2 ప ద2 ని3 స'.
- సింహేద్రమధ్యమం రాగం
కటపయాది పద్ధతిలో, స 7, హ 8, ఆధునికవాడుక ప్రకారం, 78 87 అనిపిస్తంది. కానీ, ఇది నిజానికి సిహ్మేంద్రమధ్యమం అని వ్రాయబడిందని, ఎక్కువమంది భావిస్తారు (ఉచ్చారణలో మార్పు ఉండదు). అప్పుడు కటపయాది పద్ధతిలో, స 7, మ 5, ఆధునికవాడుక ప్రకారం, 75 57 అవుతుంది. ఇది, సిహ్మేంద్ర మధ్యమం రాగం యొక్క మేళకర్త సంఖ్య. ఇది 36 కన్నా ఎక్కువ కనుక 'మ2' ఉంటుంది. 57 నుండి 36ని తీసివేస్తే 21, 21ని ఒక్క విలువ తగ్గిస్తే 20 అవుతుంది. 6 తో 20ని భాగింపగా భాగపలం 3, శేషం 2 . అందువలన ఈ రాగం యొక్క స్వరక్రమం, స రి2 గ2 మ2 ప ద1 ని3 స'.
తేదీలు సూచించడం
[మార్చు]ముఖ్యమైన తేదీలు కటపయాది పద్ధతినుపయోగించి గుర్తుపెట్టుకునేవారు. సాధారణంగా, ఈ లెక్కింపు కలియుగంలో ఆ తేదీ ఎన్నవ రోజు అనే దానినే ఉపయోగించేవారు.
- ప్రస్తుత మలయాళం కేలండరు (కొల్లవర్షం అని పిలుస్తారు), అంతకు ముందున్న కేలండర్ల స్థానంలో సా.శ. 825 నుండి అనుసరించబడుతోంది. ఆ రోజుని, "ఆచార్య వాగ్బాధా"గా గుర్తుంచుకున్నారు. ఈ పద్ధతి ప్రకారం, ఆ రోజు, కలియుగం మొదలైన పిమ్మట 1434160వరోజు.[11]
- మేల్పతూర్ నారాయణ భట్టాద్రి రాసిన నారాయణీం, "ఆయురారోగ్యసౌఖ్యమ్" అనే వాక్యంతో ముగుస్తుంది. కటపయాది ప్రకారం, దీని విలువ "1712210". ఇది ఆ రచన పూర్తయిన రోజు. (కలి శకం) [12]
ఇతరములు
[మార్చు]- కొంతమంది, పుట్టినపిల్లలకి పేర్లు పెట్టడానికి కూడా ఈ పద్ధతిని వాడతారు.[13][14]
- కోడునల్లూరు కున్నికుట్టన్ తంబూరన్, కటపయాది పద్ధతి ఉపయోగించి, మలయాళంలో రాసిన ఈ వాక్యం గ్రెగొరియన్ కేలండరులోని నెలలను గుర్తుపెట్టుకోడానికి ఉద్దేశించింది.
- పలహారే పాలు నల్లూ, పులర్న్నాలో కలక్కిలాం
- ఇల్లా పాలెన్ను గోపాలన్ - ఆంగ్లమాసదినం క్రమాల్
దీనర్థం, "ఉదయాహారానికి పాలు మంచివి, పొద్దన్న, వాటిని చిలుకుకోవాలి. కానీ, గోపాలన్ పాలు లేవన్నాడు."
"కటపయాది" ద్వారా దీనిని అంకెలలో మారిస్తే, పల = 31, హారే = 28, పాలు = 31, నల్లూ = 30, పులర్ = 31, న్నాలో = 30, కల = 31, క్కిలాం = 31, ఇల్లా =30, పాలే = 31, న్ను గో = 30, పాలన్ = 31.
ఇవి కూడా చూడండి
[మార్చు]మూలాలు
[మార్చు]- ↑ 1.0 1.1 Sreeramamula Rajeswara Sarma (1999). "Kaṭapayādi Notation on a Sanskrit Astrolabe" (PDF). Retrieved 2020-07-11.
- ↑ O'Connor, J J; Robertson, E F (1 November 2000). "Sankara Narayana". School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Retrieved 1 January 2010.
- ↑ Usenet Discussion. "Aryabhatta's numerical encoding". Archived from the original on 17 జూలై 2011. Retrieved 1 January 2010.
- ↑ Plofker, Kim (2008). Mathematics in India. Princeton University Press. p. 384. ISBN 978-0-691-12067-6.
- ↑ Fleet, J. F. "The Ka-ta-pa-ya-di Notation of the Second Arya-Siddhanta". The Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland. Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland: 459–462. JSTOR 25190035.
- ↑ J.F. Fleet (1911-07-01). "The Katapayadi System of Expressing Numbers". The Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland. Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland: 788–794. JSTOR 25189917.
- ↑ K. V. Sarma (2001). ""Sadratnamala of Sankara Varman"" (PDF). Indian Journal of History of Science (Indian National Academy of Science, New Delhi). pp. 1–58. Archived from the original (PDF) on 2015-04-02.
- ↑ Anand Raman, The Ancient Katapayadi Formula and the Modern Hashing Method [1] Archived 2011-06-16 at the Wayback Machine
- ↑ "Aryabhatta's Numerical Encoding". Archived from the original on 2011-07-17. Retrieved 2011-07-17.
- ↑ "శాస్త్ర విజ్ఞానం బ్లాగు, శ్రీనివాస చక్రవర్తి". Archived from the original on 2016-03-07. Retrieved 2013-01-17.
- ↑ Francis Zimmerman, 1989, Lilavati, gracious lady of arithmetic - India - A Mathematical Mystery Tour [2]
- ↑ Dr. C Krishnan Namboodiri, Chekrakal Illam, Calicut, Namboothiti.com Dr. C Krishnan Namboodiri. ""Katapayaadi" or "Paralpperu"". Namboothiri Websites Trust. Retrieved 1 January 2010.
- ↑ Visti Larsen, Choosing the auspicious name[permanent dead link]
- ↑ [3]