పాస్కల్ త్రిభుజం

గణిత శాస్త్రంలో పాస్కల్ త్రిభుజం అనునది ఏదైనా ఘాతంగా గల బహుపది యొక్క విస్తరణలో పదముల సంఖ్యాగుణకములు తెలుసుకొనుతకు ఉపయోగపడుతుంది. ఈత్రిభుజమును బ్లేజ్ పాస్కల్కు ముందు పశ్చిమ ప్రపంచ దేశాలు, యితర దేశాలయిన భారత దేశము, గ్రీసు, ఇరాన్, చైనా, జర్మనీ, ఇటలీ లలో ఉపయోగిస్తున్నప్పటికీ బ్లేజ్ పాస్కల్ పేరు మీదుగా పాస్కల్ త్రిభుజం అని పేరు పెట్టబడింది.^[1]

పాస్కల్ త్రిభుజంలో మొదటి అడ్డు వరుస n = 0 తో పైన మొదలు పెట్టబడింది. ప్రతి అడ్డువరుసలో ఉన్న ప్రతి సంఖ్య k = 0 తో మొదలై వరుసగా విస్తరించబడతాయి. ఈ త్రిభుజ సాధారణ నిర్మాణం ఈ క్రింది విధంగా ఉంటుంది. శూన్య వరుసలో గల సంఖ్య '1' గా తీసుకుంటారు. తర్వాత వరుసలలో మొదటివరుసను పై సంఖ్య అయిన 0 నకు 1 కలిపితే వచ్చే సంఖ్య 1, 1 నకు 0 తో కలిపితే చ్చే సంఖ్య 1 గా తీసుకుంటారు. ఈ సంఖ్యలైన 1,1 లు ${(x+y)^{1}}$ ద్విపది యొక్క సంఖ్యా గుణకాలవుతాయి. అనగా ${(x+y)^{1}}$ యొక్క విస్తరణ ${(x+y)^{1}}=x+y$ అవుతుంది. పాస్కల్ త్రిభుజంలో రెండవ వరుసలో మొదటి సంఖ్య పైవరుసలో గల మొదటి సంఖ్య, 0 ల మొత్తం 1, రెండవ సంఖ్య పైవరుసలో గల రెండుసంఖ్యలైన 1,1 ల మొత్తము 2, మూడవ సంఖ్య పై వరుసలోని 1, 0 ల మొత్తము 0 గా 1,2,1 లు వస్తాయి. ఈ సంఖ్య వర్గ ద్విపది యొక్క సంఖ్యా గుణకములు అవుతాయి. ఉదాహరణకు ${(x+y)^{2}}$ యొక్క విస్తరణ అయిన ${x^{2}+2xy+y^{2}}$ లో సంఖ్యా గుణకములు 1,2,1 లు. ఇదే విధంగా ${(x+y)^{3}}$ విస్తరణ అయిన ${x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}$ యొక్క సంఖ్యా గుణకములు 1,3,3,1 లు పాస్కల్ త్రిభుజంలోని మూడవ వరుసలో ఉంటాయి. ఈ సంఖ్యలలో ప్రతి సంఖ్య పై వరుసలో రెండువరుస సంఖ్య ల మొత్తమని గ్రహించాలి.

పాస్కల్ నియమం ప్రకారం ద్విపది యొక్క గుణకములు ఈ క్రింది విధంగా ఉంటాయి.

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}

అయితే

{n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}

ఇందులో n ఒక ధన పూర్ణాంకం, k అనునది 0 and n ల మధ్య గల ఏదైనా పూర్ణాంకం పాస్కల్ త్రిభుజం చాలా ఎక్కువగా విస్తరించబడుతుంది. ఈ విస్తరనను పాస్కల్ పిరమిడ్ లేదా పాస్కల్ టెట్రాహైడ్రన్ అని అంటారు.