చలన సమీకరణాలు

గణిత భౌతిక శాస్త్రంలో, చలన సమీకరణాలు సమయం ఫంక్షన్ దాని చలన పరంగా ఒక భౌతిక వ్యవస్థ యొక్క ప్రవర్తనను వివరించే సమీకరణాలు ఉన్నాయి.మరింత ప్రత్యేకంగా, చలన సమీకరణాలు డైనమిక్ వేరియబుల్స్ పరంగా గణిత విధులు సమితి లాంటి భౌతిక వ్యవస్థ యొక్క ప్రవర్తన వివరిస్తాయి: సాధారణంగా ప్రాదేశిక అక్షాలు, సమయం, కానీ ఇతరులు మొమెంటం భాగాలు, సమయం వంటి, కూడా సాధ్యమే.అత్యంత సాధారణ ఎంపిక భౌతిక వ్యవస్థ లక్షణం అది ఏ అనుకూలమైన వేరియబుల్స అయిన కావచ్చు కాని దాని యొక్క అక్షాంశాలు సాధారణీకరణం ఉంటాయి.వీటి యొక్క విధులు క్లాసికల్ మెకానిక్స్ లో ఒక యూక్లిడ్ స్పేస్ లో నిర్వచించినప్పుడు దానీ సాపేక్షత వక్ర ఖాళీలు భర్తీ చేయబడతాయి. ఒక వ్యవస్థ యొక్క డైనమిక్స్ తెలిసినప్పుడు సమీకరణాలు ఆ డైనమిక్స్ కదలికలను వివరిస్తుంది, అవకలన సమీకరణాలకు పరిష్కారం ఉన్నాయి.

ఇందులో ముఖ్యంగా రెండు రకాల మోషన్లు ఉన్నయి అవి-1.డైనమిక్స్, 2.కైనమాటిక్స్. డైనమిక్స్ లో సాధారణంగా కణాలు, శక్తుల, శక్తి పరిగణలోకి తీసుకుంటారు. ఈ సందర్భంలో, కొన్నిసార్లు పదం అవకలన సమీకరణాలను సూచిస్తుంది వ్యవస్థ సంతృప్తి (ఉదా, న్యూటన్ రెండవ సూత్రం లేదా యూలర్-లగ్రంగే సమీకరణాలు),, కొన్నిసార్లు ఆ సమీకరణాలకు పరిష్కారం.

{F} = m{a} 

కైనమాటికలో ప్రాదేశిక ఆందోళనలు, కాల-సంబంధ వేరియబుల్స్ చర్విత సులభతరం. డిస్ప్లేస్మెంట్ (ఎస్), ప్రారంభ వేగము (యు) తుది వేగాన్ని (V), త్వరణం (A) స్థిరమైన త్వరణాన్ని పరిస్థితులలో, చలన ఈ సులభమైన సమీకరణాలు సాధారణంగా గతిజ పరిమాణంలో నిర్వచనాలు నుంచి తలెత్తే, "SUVAT" సమీకరణాలుగా సూచిస్తారు ),, సమయం (t). $\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}},\quad \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\,\!$ ${\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {d\theta }{dt}},\quad {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d\mathbf {\omega } }{dt}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\,\!$ where

$\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {e}} _{r}\times \mathbf {\hat {e}} _{\theta }\,\!$

$\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \,\!$

$\mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} \,\!$

ఏకరీతి త్వరణం; స్థిరమైన సరళ త్వరణం; సరేఖీయాలయిత వెక్టర్స్; ఒక స్థిరమైన అణువు త్వరణంయొక్క సరళరేఖలో మూడు కోణ్ణాల్లోను, సరళంగా కదిలే చోట ఈ సమీకరణాలు ఉపయోగిస్తారు. ${\begin{aligned}v&=at+v_{0}\quad [1]\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}r&=r_{0}+v_{0}t+{\frac {{a}t^{2}}{2}}\quad [2]\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}r&=r_{0}+\left({\frac {v+v_{0}}{2}}\right)t\quad [3]\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)\quad [4]\\r&=r_{0}+vt-{\frac {{a}t^{2}}{2}}\quad [5]\\\end{aligned}}$

where:

• $r_{0}$ -కణ ప్రారంభ స్థానం
• $r$ -కణ చివరి స్థానం
• $v_{0}$ -కణ ప్రారంభ వేగం
• $v$ -కణ చివరి వేగం
• $a$ -కణ త్వరణం
• $t$ -కణ సమయం.

ప్రాథమిక భౌతిక శాస్త్రంలో పైన చెప్పబదిన సూత్రాలను ఈ విధంగా కూడా చెప్పబడ్డాయి; ${\begin{aligned}v&=u+at\quad [1]\\s&=ut+{\frac {1}{2}}at^{2}\quad [2]\\s&={\frac {1}{2}}(u+v)t\quad [3]\\v^{2}&=u^{2}+2as\quad [4]\\s&=vt-{\frac {1}{2}}at^{2}\quad [5]\\\end{aligned}}$ సరేఖీయాలయిత కాని వెక్టర్స్; ${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}\quad [1]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {{\mathbf {a} }t^{2}}{2}}\quad [2]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\left({\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\right)t\quad [3]\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\quad [4]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t-{\frac {{\mathbf {a} }t^{2}}{2}}\quad [5]\\\end{aligned}}$ డాట్ ఉత్పత్తి నుంచి దిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రొపర్టి ద్వారా eqn- (4) ను పొందుపరిచామూ. $v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)\cdot (\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)=v_{0}^{2}+2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}$

$(2\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=(2\mathbf {a} )\cdot \left(\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\right)=2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}=v^{2}-v_{0}^{2}$

$\therefore v^{2}=v_{0}^{2}+2(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}))$

అప్ప్లికేషంస్; చర్విత ఎలిమెంటరీ, తరచుగా ఉదాహరణలు. ఉదాహరణకు ఒక బంతి గాలిలోకి పైకి విసిరాము. దాని ఆరంభ వేగం u కారణంగా,, అది కిందకు వచ్చేలోగా దాని పొడుగును లెక్కించవచ్చు.దాని యొక్క త్వరణం ప్రారంభ త్వరణం. $s={\frac {v^{2}-u^{2}}{-2g}}.$ ఇక్కడ v=0, - చే భాగహరించినచొ

:$s={\frac {u^{2}}{2g}}.$

స్థిర వ్రుత్తాకార త్వరణం;